国民健康保険について質問です。
現在、定年退職した父と扶養の母…両親と同居してます。
私を入れて三人。

私は先月末で会社都合による解雇、失業保険を申請中です。
本日国保の手続きをしたら、世帯主こと父の口座から引き落としになるとのこと。
来年度からは、両親のほうへ私の分を上乗せして請求とのこと。
今年度(三月まで)は、役場で差額を聞いてきて父に支払うことにしましたが…来年度分は、金額が出る7月に差額を役場でたずねればいいでしょうか？
父の収入は変わらないみたいなので、今年度と同じみたいです。

不正確な認識です。

国保には“扶養”という制度がありません。
※退職者医療だと保険証に「被扶養者」と書かれますが、保険料/税計算の対象であることには変わりありません。

国民健康保険は世帯が単位です。
また、保険料/税は「何月分」という形ではありません。「この世帯の今年度の額は幾ら」という形で、それを分割払いするものです。
世帯の額が世帯主に請求されます。

お父さんとお母さんは国保に加入ですね？
あなたが、お父さんを世帯主とする世帯の一員として国保に加入すると、世帯の保険料/税が再計算され、世帯主であるお父さんが払う額が増えます。

「世帯で幾ら」ですから、「質問者の分の金額」というものは存在しません。
あえて言うなら、
・世帯割÷世帯の加入人数
・均等割（一人分）
・所得割のうち、世帯の所得合計に占める自分の所得の割合
の合計になるでしょうね。

国保料/税の計算方法の説明を見て、自分で計算するしかありません。

扶養についての質問ですが、
私は現在、派遣で働いていて寿退社するつもりです。
失業保険をもらう間は旦那の扶養には入れないとのこと。

失業保険をもらうと扶養に入れないのはなぜですか？
失業保険がそんなに期待出来ないようなら、扶養に入った方が
よいのでしょうか？

扶養には所得税の関係と、社会保険関係があります。

所得税については、失業給付は収入に入れず、収入では１０３万円、所得で３８万円まで。１月１日から１年間の累計です。

社会保険については、失業給付もあわせて１３０万円まで。
向こう１年間の収入見込みが１３０万円までです。

１２月３１日締めの年収は１０３万円を超えていて、税金上は扶養になれないが、１２月から専業主婦になったため、向こう１年間の収入見込みが０円なので、社会保険上は１２月から扶養に入れることもあります。

とりあえず、保険については社会保険事務所に問い合わせて、任意継続した場合の金額を調べ、次は市役所で国民健康保険に加入した場合の金額を調べましょう。
よほどあなたの派遣の収入が低くない限り、扶養に入るより失業保険をもらった方が得だと思いますよ。

２年間扶養範囲内（年収１２５万円）でパートで働いてきた会社を５月に自己都合退職しました。
月額８～９万程の収入でプラス年間２０万ほどの寸志がありましたが、失業保険受給日額も低いと思われますので、このまま主人の扶養に入ったままで失業保険を受給してもいいのでしょうか？

今まで一度も主人の扶養から外れたことはなく、今度も外れる予定はないのですが、友人に失業保険受給中は扶養から外れないといけないと言われびっくりしました。

また５月に県外へ引っ越しの為退職したので、以前住んでいた市から昨年度の市民税の振込用紙が送られてきました。

この税金も自分で支払わないといけないのでしょうか？

以前も扶養範囲内で働いていて、自己都合退職し失業保険を受給した事があるのですが、受給中に自分の市民税を別途支払いに行った記憶はないように思います。

保険に詳しい方がいらっしゃったら、どうか教えてください。

税法上の扶養にはあたりませんので、健康保険の扶養の件でよろしいのですよね。
失業保険については他に回答がある通り、扶養のまま受給できます。

市民税の所得割はパート収入が約１００万円以下（お住まいの市町村により違います）の場合は課税されませんが、超えた場合は超えた分について課税されます。
昨年の収入が１００万円を超えてらっしゃるのではないでしょうか？
その場合、請求がきた分については支払わないといけません。

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