契約社員ではない場合の更新制のバイトの失業保険について。1か月の間に次の仕事の紹介ができないので会社都合の退職になるようです。

扶養に入っている時に失業保険の受給が始まったら、本来であれば始まる前に国民保険に切り替えないといけないと思うのですが、切り替えせずに失業保険を受け取り、もしそれが途中でわかってしま
ったら失業保険を受け取り始めてからの国民保険料を払えば済む事ですか？
他に何かペナルティはあるのでしょうか。

失業給付金を受給しているにも関わらず、扶養から抜けなかった場合、会社によって対応は様々です。
重いペナルティーのところもあります。また会社の保険者が健康保険組合の場合失業給付金の受給資格日からの喪失ではなく、待機期間と受給制限期間（自己都合退職は３ヶ月と７日）支給されなかった月まで遡って扶養取り消しをするところもあります。

あなたの失業給付金資格票を両面コピーされ異動届に年金番号などを書いて、喪失の申請され健康保険証と一緒に提出して下さい。そのままにしない方がいいですね。
どういう処理扱いになるかは保険者により違いますが、
組合によっては
失業給付金受給完了後も一年間扶養制限期間を課せられ入れないとする、となったら痛いですよね。
失業給付金受給中は国民年金、国民健康保険に独自でお入り下さい。

いじめで退職しました。
長い間、同僚のいじめに苦しめられ、ひとり親で子供もいるので我慢してきましたが、ストレスがたまり身体に支障が出て、もう駄目だと思い先日仕事を辞めました。
失業保険を受給するため、離職票を事業主に作成してもらう時、いじめていた同僚本人が離職票の離職理由を記入する欄に、私事都合による退職を本人からの申し出、と勝手に書いて私にこれで良いですか？と見せられました。有無を言わせないような言い方で、私もそれで良いですと言いましたが、納得できません。上司はいじめがあったことを認識しています。でも、ごたごたしたくないからその人の言う通りにして欲しいと言いました。失業給付は私事都合なら3カ月後からの支給になるし、仕事もなかなか見つからないし、私だけこんな思いをして同僚には何もおとがめも無く悔しくてたまりません。上司は泣き寝入りしなさいと言いました。これから失業手続きですが、こんな不本意な離職票を持ってハローワークに行きたくない気持ちが日に日に強くなり悩んでいます。みんさんならどうしますか？。

あくまで第三者的な意見を述べさせてもらうと
「いじめにあったから退職する」のは「私事都合」でしかありません。
例えいじめた本人が書かなかったとして
ハロワであなたが状況を説明しても、です。

今から出来る事は、ごたごたを避けたいと言った上司に
「会社都合で」と書き換えてもらう事を前提に
「この件を本社や客先などにバラす」と伝える事でしょうか。
脅しのようになってしまいますが、それしかないかと。
「私の離職票なのに第三者が虚偽の記載をした事は
【偽文書作成】だし、認めろといったあなたも同罪」とかね。

ただ、基本的には「わかりました」と言ったら終わり、だと考えて
嫌なら答えを先延ばしするようにしたほうがよかったですね。
当時言えなかったNOが今言えますか？
当時出来なかった反抗が今出来ますか？
私にはそれが疑問です。

妊娠による失業保険について
妊娠を機に6月いっぱいで退職しました。出産予定日は7月24日で、失業保険の延長手続きは7月30日から一ヶ月の間にする予定です。
妊娠を機に退職なので自己都合退職になる訳ですが、その場合失業保険が給付されるのは一番早くていつからになるでしょうか？
延長手続き後受給申請は早くていつからできるのかと、その際手続きをした日から待機期間の3ヶ月待ってからじゃないと受給できないのかを知りたいです。ご存知の方よろしくお願いします。

出産の翌日から8週間は
「労働基準法による強制休業」の期間にあたるため
失業保険保険の給付を受ける＝就職活動をすることは不可能です。

なので、産後に最短で失業保険の給付手続きをできるようになる日は
「出産翌日から数えて57日目から」になります。
（7月24日にお産した場合には、強制休業が9月18日で終わるので9月19日から就職活動が可能ですが
週末や連休に引っかかるので、実質最速でハロワに行って手続きできるのは9月21日になる）

妊娠出産を理由に90日以上の受給延長をした場合には、3ヶ月の制限が解除になって7日の制限で終わることもありますが
基本的にはお察しのとおり
「受給延長の手続きを解除した手続きから3ヵ月後」の受給です。

失業手当について質問です。
派遣社員として雇用保険に入り6年働いていましたが、今年1月31日で契約期間満了で仕事が終了してしまいました。1か月の間に次の仕事の紹介ができないので会社都合の退職になるようです。
現在、1か月が経ち次の仕事が見つからないので、離職票の発行手続きをしてもらい、あと１０日もすれば届くと思うのですが、今日、派遣先から2か月の短期（雇用保険には入れない）の仕事があると言われました。5月末にはその仕事も終了してしまうのですが、その場合、5月以降に失業保険を受け取ることはできないのでしょうか？
説明がうまくできませんが、アドバイスお願いします。

もらえます。

失業保険の所定給付日数は、最後の離職票の資格喪失日から1年間です。
ですから、来年の1月31日までにもらいきれば、尻切れトンボになりません。
2ヶ月の短期の仕事が雇用保険の被保険者にならないのであれば、会社都合での給付となり、かなり所定給付日数は多いです。
30歳未満で120日、30歳以上45歳未満で、180日、45歳以上60歳未満240日、60歳以上65歳未満180日です。
かなり、給付日数が多いので、45歳以上60最未満であれば、2ヶ月の短期雇用が終了したら、すぐに離職票を持って手続きするのがベターですね。

ちなみに、2ヶ月の短期雇用で雇用保険の被保険者になってしまうと、離職理由が新しいほうが適用され、1ヶ月間に仕事の紹介をことわると、給付日数が90日になってしまいます。

契約社員ではない場合の更新制のバイトの失業保険について。
３月末で４年弱勤めていた会社（アルバイト）を退職します。
６ヶ月更新の雇用形態なんですが、契約社員ではありません。
契約更新月なので更新せず辞める形です。

こういった場合、契約満了で会社都合にはならないのでしょうか？
「何年（もしくは何ヶ月）で契約満了」というわけではないので。。。
あくまでも自分が更新しない自己都合退社ですよね？

そうするとやっぱり失業保険がもらえるのは３ヶ月後ですか？

貴方から契約の更新をしないのであれば自己都合になります。

雇用保険の被保険者期間が1年以上あれば受給は可能ですが、お察しの様に申請後7日間の待機期間後に3ヶ月の給付制限期間が付き、最初の手当が支給されるのは申請後3ヶ月半～4ヶ月後になります。

【補足】
いい加減な上司ですね。
6ヶ月後などと言う制度（規定）はありません。
給付制限期間は3ヶ月だけです。